Emmy Noether e il suo teorema rivoluzionario

«Il genio matematico più notevole […] dall’inizio dell’istruzione superiore delle donne». Così Albert Einstein definì, in una lettera al New York Times, la matematica tedesca Amalie Emmy Noether, autrice di scoperte significative nell’algebra astratta, nonché rivelatrice di un legame indissolubile tra la matematica e la fisica, che illustrò nel celebre teorema eponimo.

Nata il 23 marzo 1882 a Erlangen, in Germania, studiò matematica presso l’università cittadina, nella quale insegnava il padre Max, anch’egli matematico. Fin da subito dovette confrontarsi con una realtà accademica che escludeva le donne dalle alte cariche, ritrovandosi a lavorare per ben sette anni senza compenso all’istituto matematico dell’ateneo. Nel 1915 colse l’opportunità di insegnare a fianco di David Hilbert e Felix Klein, presso la prestigiosa Università di Göttingen, posizione che tenne fino al 1933, anno in cui fu espulsa perché di origine ebrea. Proseguì l’attività in Pennsylvania, dove morì il 14 aprile 1935; e come per molte donne scienziate del tempo, il riconoscimento del valore dei suoi contributi fu solo postumo.

Il teorema di Noether è una pietra miliare nello sviluppo della fisica moderna, servendo da premessa essenziale per il cosiddetto modello standard, la magna teoria che attualmente descrive in modo più accurato — e finora infallibile — le interazioni tra le particelle elementari che compongono la materia. L’idea di fondo è semplice da formulare: a ogni simmetria continua dell’universo corrisponde una grandezza fisica conservata. Prendiamo l’esempio di un oggetto che si muove in caduta libera. Ci appare evidente che il suo moto non dipenda dal momento esatto in cui lo lasciamo; vale a dire, l’equazione associata a come si evolve il sistema non muta forma in base all’istante considerato. Questa simmetria rispetto al tempo si riflette nella conservazione dell’energia totale del sistema: durante la caduta l’energia potenziale del corpo diminuisce, mentre aumenta quella cinetica, mantenendo sempre la somma costante. Non è una mera correlazione, anzi; simmetrie e grandezze conservate sono due facce della stessa medaglia, l’una matematica e l’altra fisica.

Altra simmetria intuitiva è quella rispetto alla traslazione, che caratterizza ad esempio un campo gravitazionale uniforme. L’equazione del moto di corpi che si muovono su quest’ultimo, o più generalmente l’evoluzione del sistema, non dipende in alcun modo dalla scelta delle coordinate di riferimento, che è manifestamente arbitraria; viene dunque conservata una grandezza, la quantità di moto. Allo stesso modo la simmetria rispetto alla rotazione, di cui godono i campi gravitazionali dei pianeti in particolare, comporta la conservazione del momento angolare per gli oggetti che vi orbitano attorno. In ogni caso è da sottolineare la continuità di tali simmetrie, la quale dissimila dalla discretezza insita nella nozione colloquiale di simmetria, come il ribaltamento lungo una retta o la rotazione di un certo angolo. Si noti anche che venendo meno una simmetria, viene a mancare la conservazione della grandezza associata, e viceversa. Ne è esempio la teoria della relatività generale, nella quale l’energia totale non è conservata, poiché l’universo, espandendosi, cambia col tempo nella sua struttura spaziale; dunque non vale la simmetria rispetto al tempo stesso, o almeno non localmente. Si teorizza appunto una nuova forma di energia, detta oscura, diversa da quella comune, che sia la causa dell’espansione del cosmo.

Ma qual è il fondamento matematico di tutto ciò? Di certo non mi addentrerò ora nei calcoli, ma non si può non citare il cosiddetto principio della minima azione, che il teorema di Noether presuppone per giungere alle sue conclusioni. I sistemi nella loro evoluzione paiono seguire tendenzialmente la regola «Minimizza l’azione per portarti dal punto A al punto B», un principio che ci permette di dedurne le equazioni di moto. Possiamo notarlo nel caso speciale della luce, la quale si riflette su una superficie seguendo la traiettoria che richiede il minor tempo. Il principio è stato ineccepibilmente riassunto dal fisico Richard Feynman nei suoi integrali sui cammini, che rappresentano in termini matematici il percorso che una particella “sceglie” di seguire tra le infinite possibilità, estendendo il concetto di azione minima dalla meccanica classica alla quantistica. Così il teorema di Noether si è rivelato essenziale per risolvere problemi di fisica precedentemente irrisolvibili, ossia come determinare l’evoluzione di sistemi complessi nel tempo. Grazie alle grandezze conservate è sufficiente operare sulla visione globale di un insieme di particelle, fondata sulla statistica, per determinare lo stato futuro del sistema, senza quindi dover esaminare i moti individuali delle stesse.

Emmy Noether è stata una donna che, contro ogni pregiudizio e affronto, scelse nondimeno di coltivare la sua grande passione per la matematica. E se abbattiamo, una volta per tutte, questi pregiudizi che ancora persistono — quante altre Emmy ci attendono ancora?

S. Gallina